Question

已知橢圓C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦點與拋物線C2：y2=4x的焦點F重合，點M是C₁與C₂在第一象限內的交點，且|MF|=

5

3

．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）設拋物線的準線與x軸交于點E，過E任作一條直線l，l與橢圓C₁的兩個交點記為A，B．問：在橢圓的長軸上是否存在一點P，使

PA

•

PB

為定值？若存在，求出點P的坐標及相應的定值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由拋物線的定義結合|MF|=

5

3

求出M的坐標，把M的坐標代入橢圓方程，結合已知條件求得橢圓方程；
（2）求出E點的坐標，假設存在點P（m，0）（-2≤m≤2）滿足要求．求出直線l的斜率不存在和斜率為0時的

PA

•

PB

值，由兩值相等求出m的值，然后分情況證明所求的P點符合要求．

解答：解：（1）設M（x_M，y_M），∵拋物線C2：y2=4x，∴其準線方程為x=-1，
由拋物線的定義得：xM+1=

5

3

，得：xM=

2

3

，代入拋物線方程得：yM=

2 6

3

，
∴M(

2

3

，

2 6

3

)．
將此點代入橢圓方程，得

4

9a2

+

8

3b2

=1，
又橢圓的半焦距c=1，a²=b²+c²，解得：a²=4，b²=3．
∴橢圓的方程為：

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）拋物線的準線與x軸交點E（-1，0），假設存在點P（m，0）（-2≤m≤2）滿足要求．
當直線l的斜率不存在時，求得兩交點為(-1，

3

2

)，(-1，-

3

2

)，此時

PA

•

PB

=(-1-m)2-

9

4

；
當直線l的斜率為0時，求得兩交點為（-2，0），（2，0），此時

PA

•

PB

=(-2-m)(2-m)．
由(-1-m)2-

9

4

=(-2-m)(2-m)，解得m=-

11

8

．
下面證明P(-

11

8

，0)符合要求．
當直線l的斜率為0時，

PA

•

PB

=m2-4=-

135

64

．
當直線l的斜率不為0時，設l的方程為x=ny-1，由

x2 4 + y2 3 =1 x=ny-1

得，（3n²+4）y²-6ny-9=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y1+y2=

6n

3n2+4

，y1y2=

-9

3n2+4

．
此時

PA

•

PB

=(x1+

11

8

)(x2+

11

8

)+y1y2=(ny1-1+

11

8

)(ny2-1+

11

8

)+y1y2
=

3n

8

(y1+y2)+(n2+1)y1y2+

9

64

=

-9(3n2+4)

4(3n2+4)

+

9

64

=-

135

64

．
故存在點P(-

11

8

，0)符合要求，對應的定值為-

135

64

．

點評：本題考查了橢圓的標準方程的求法，考查了直線與圓錐曲線的位置關系，訓練了設而不求的解題思想方法和分類討論的數學思想方法，訓練了特值驗證法，考查了學生靈活處理問題的能力和計算能力，是高考試卷中的壓軸題．