Question

定義:若數列{An}滿足An+1=,則稱數列{An}為“平方遞推數列”.已知數列{an}中,a1=2,點(an,an+1)在函數f(x)=2x2+2x的圖象上,其中n為正整數.

(1)證明:數列{2an+1}是 “平方遞推數列”,且數列{lg(2an+1)}為等比數列.

(2)設(1)中“平方遞推數列”的前n項之積為Tn,即Tn=(2a1+1)(2a2+1)…(2an+1),求數列{an}的通項公式及Tn關于n的表達式.

 

Answer 1

(1)見解析 (2) an=(-1). Tn=

【解析】(1)由條件得:an+1=2+2an,

∴2an+1+1=4+4an+1=(2an+1)2,

∴{2an+1}是“平方遞推數列”.

∵lg(2an+1+1)=2lg(2an+1),

∴=2,∴{lg(2an+1)}為等比數列.

(2)∵lg(2a1+1)=lg5,

∴lg(2an+1)=lg5·2n-1,

∴2an+1=,∴an=(-1).

∵lgTn=lg(2a1+1)+lg(2a2+1)+…+lg(2an+1)

==(2n-1)lg5,

∴Tn=.