Question

如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面為一直角梯形，BA⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，PA⊥底面ABCD，E為PC的中點．（14分）
（1）證明：EB∥平面PAD；
（2）若PA=AD，證明：BE⊥平面PDC．

Answer 1

分析：（1）欲證EB∥平面PAD，根據直線與平面平行的判定定理可知只需證EB與平面PAD內一直線平行，取PD的中點F，連接FA，FE，根據中位線定理可知EF∥AB，EF=AB，從而ABEF是平行四邊形，則EB∥FA，EB?平面PAD，FA?平面PAD，滿足定理所需條件；
（2）欲證BE⊥平面PDC，根據直線與平面垂直的判定定理可知只需證BE與平面PDC內兩相交直線垂直，而BE∥AF，可先證
AF⊥平面PDC，而AF⊥PD，PD∩CD=D，PD?平面PDC，CD?平面PDC，滿足線面垂直的判定定理，問題得證．

解答：證明 （1）取PD的中點F，連接FA，FE，則EF為△PDC的中位線．
∴EF∥CD，EF=

1

2

CD．∵BA⊥AD，CD⊥AD．∴AB∥CD∵CD=2AB，∴AB=

1

2

CD．
∴EF∥AB，EF=AB．∴ABEF是平行四邊形．
∴EB∥FA．∵EB?平面PAD，FA?平面PAD∴EB∥平面PAD（6分）
（2）∵PA⊥底面ABCD，CD?底面ABCD
∴PA⊥CD∵CD⊥AD，PA∩AD=A
PA?平面PAD，AD?平面PAD
∴CD⊥平面PAD，∵AF?平面PAD
∴CD⊥AF．
∵PA=AD，PF=FD∴AF⊥PD．
∵PD∩CD=D，PD?平面PDC，CD?平面PDC
∴AF⊥平面PDC．由（1）可知，BE∥AF
∴BE⊥平面PDC??

點評：判斷或證明線面平行的常用方法有：①利用線面平行的定義（無公共點）；②利用線面平行的判定定理（a?α，b?α，a∥b?a∥α）；③利用面面平行的性質定理（α∥β，a?α?a∥β）；④利用面面平行的性質（α∥β，a?α，a?，a∥α??a∥β）．本題可采用方法②，屬于中檔題．