Question

如圖所示，為了制作一個(gè)圓柱形燈籠，先要制作4個(gè)全等的矩形骨架，總計(jì)耗用9.6米鐵絲，骨架把圓柱底面8等份，再用S平方米塑料片制成圓柱的側(cè)面和下底面（不安裝上底面）．
（1）當(dāng)圓柱底面半徑r取何值時(shí)，S取得最大值？并求出該最大值（結(jié)果精確到0.01平方米）；
（2）在燈籠內(nèi)，以矩形骨架的頂點(diǎn)為點(diǎn)，安裝一些霓虹燈，當(dāng)燈籠的底面半徑為0.3米時(shí)，求圖中兩根直線A₁B₃與A₃B₅所在異面直線所成角的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)表示）

Answer 1

解：（1）設(shè)圓柱的高為h，由題意可知，4（4r+2h）=9.6，
即2r+h=1.2，
s=2πrh+πr²=πr（2.4-3r）=3π[-（r-0.4）²+0.16]，其中0＜r＜0.6
∴當(dāng)半徑r=0.4m時(shí)，S_max=0.48π≈1.51（m²）
（2）當(dāng)r=0.3時(shí)，由2r+h=1.2，解得圓柱的高h(yuǎn)=0.6（米），
如圖以直線A₃A₇、A₁A₅及圓柱的軸為x、y、z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，則有，
A₁（0，-0.3，0）
B₃（0.3，0，0.6）
A₃（0.3，0，0）
B₅（0，0.3，0.6），
∴=（0.3，0.3，0.6），=（-0.3，0.3，0.6），
兩根直線A₁B₃與A₃B₅所在異面直線所成角α有，
cosα==
∴兩線A₁B₃與A₃B₅所在異面直線所成角的大小arccos．
分析：（1）有題意可圓柱的高為h，可得s=2πrh+πr²用r表示出來(lái)，然后利用配方法求出s的最大值；
（2）利用向量建立坐標(biāo)系來(lái)求解，以直線A₃A₇、A₁A₅及圓柱的軸為x、y、z軸，表示出直線A₁B₃與A₃B₅的坐標(biāo)，從而求解．
點(diǎn)評(píng)：此題將函數(shù)與立體幾何結(jié)合起來(lái)出題，考查利用配方法求二次函數(shù)的最值問(wèn)題及異面直線的夾角問(wèn)題，是一道好題．