Question

【題目】如圖，在四棱錐PABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝AP＝4，AB＝BC＝2，M為PC的中點．

（1）求異面直線AP，BM所成角的余弦值；

（2）點N在線段AD上，且AN＝λ，若直線MN與平面PBC所成角的正弦值為，求λ的值．

Answer 1

【答案】（1）.（2）1

【解析】

（1）先根據題意建立空間直角坐標系，求得向量和向量的坐標，再利用線線角的向量方法求解.

（2，由AN＝λ，設N(0，λ，0)(0≤λ≤4)，則＝(－1，λ－1，－2)，再求得平面PBC的一個法向量，利用直線MN與平面PBC所成角的正弦值為，由|cos〈，〉|＝＝＝求解.

（1） 因為PA⊥平面ABCD，且AB，AD平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD.

又因為∠BAD＝90°，所以PA，AB，AD兩兩互相垂直．

分別以AB，AD，AP為x，y，z軸建立空間直角坐標系，

則由AD＝2AB＝2BC＝4，PA＝4可得

A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，4，0)，P(0，0，4)．

又因為M為PC的中點，所以M(1，1，2)．

所以＝(－1，1，2)，＝(0，0，4)，

所以cos〈，〉＝

＝＝，

所以異面直線AP，BM所成角的余弦值為.

（2） 因為AN＝λ，所以N(0，λ，0)(0≤λ≤4)，

則＝(－1，λ－1，－2)，＝(0，2，0)，＝(2，0，－4)．

設平面PBC的法向量為＝(x,y,z)，

則即

令x＝2，解得y＝0，z＝1，

所以＝(2，0，1)是平面PBC的一個法向量．

因為直線MN與平面PBC所成角的正弦值為，

所以|cos〈，〉|＝＝＝，

解得λ＝1∈[0，4]，

所以λ的值為1.