Question

．（本題滿分16分）
已知各項均不為零的數列{an}的前n項和為Sn，且滿足a1＝c，2Sn＝anan＋1＋r．
（1）若r＝－6，數列{an}能否成為等差數列？若能，求滿足的條件；若不能，請說明理由．
（2）設，，
若r＞c＞4，求證：對于一切n∈N*，不等式恒成立．

Answer 1

解：（1）n＝1時，2a1＝a1a2＋r，∵a1＝c≠0，∴2c＝ca2＋r，． （1分）
n≥2時，2Sn＝anan＋1＋r，①    2Sn－1＝an－1an＋r，②
①－②，得2an＝an(an＋1－an－1)．∵an≠0，∴an＋1－an－1＝2．       （ 3分）
則a1，a3，a5，…，a2n－1，… 成公差為2的等差數列，a2n－1＝a1＋2(n－1)．
a2，a4，a6，…，a2n，… 成公差為2的等差數列， a2n＝a2＋2(n－1)．
要使{an}為等差數列，當且僅當a2－a1＝1．即．r＝c－c2． （ 4分）
∵r＝－6，∴c2－c－6＝0，c＝－2或3．
∵當c＝－2，，不合題意，舍去.
∴當且僅當時，數列為等差數列      （5分）
（2）＝[a1＋2(n－1)]－[a2＋2(n－1)]＝a1－a2＝－2．
＝[a2＋2(n－1)]－（a1＋2n）＝a2－a1－2＝－()． （8分）
∴       （9分）
． （10分）
＝．（11分）
∵r＞c＞4，∴＞4，∴＞2．
∴0＜＜1． （13分）
且＞－1． （14分）
又∵r＞c＞4，∴，則0＜．．
∴＜1．．∴＜1．（15分）
∴對于一切n∈N*，不等式恒成立．（16分）

略