Question

已知定義在[-1，1]上的奇函數f（x），當x∈（0，1]時，f(x)=

2x

4x+1

．
（1）求函數f（x）在[-1，1]上的解析式；
（2）試用函數單調性定義證明：f（x）在（0，1]上是減函數；
（3）要使方程f（x）=x+b，在[-1，1]上恒有實數解，求實數b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）定義在R上的奇函數f（x），可得f（0）=0，及x∈（-1，0）時f（x）的解析式，x=-1和1時，同時結合奇偶性和單調性求解．
（2）用定義法證明函數的單調性，作差，變形，判號，得出結論四步，
（3）將b表示為x的函數，利用單調性求f（x）-x在[-1，1]上值域，即可求得實數b的取值范圍．

解答：解：（1）當x∈[-1，0）時，-x∈（0，1]．
∵f（x）是奇函數，∴f（x）=-f（-x）=-

2-x

4-x+1

=-

2x

4x+1

由f（0）=f（-0）=-f（0），
∴在區間[-1，1]上，有f（x）=

2x 4x+1    x∈(0，1] - 2x 4x+1     x∈[-1，0) 0               x∈{0}

，
（2）證明當x∈（0，1]時，f（x）=

2x

4x+1

，設0＜x₁＜x₂＜1，
則f（x₁）-f（x₂）=

2x1

4x1+1

-

2x2

4x2+1

=

(2x2-2x1)(2x1+x2-1)

(4x1+1)(4x2+1)

∵0＜x₁＜x₂＜1，∴2x2-2x1＞0，2x2+x1-1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
故f（x）在（0，1）上單調遞減；
（3）f（x）=x+b在[-1，1]上有實數解，轉化為b=f（x）-x，
f（x）-x在[-1，0），（0，1]上單調遞減；
∴f（x）-x的值域為 (-

1

2

，-

3

5

)∪(

3

5

，

1

2

)∪{0}，
∴實數b的取值范圍為(-

1

2

，-

3

5

)∪(

3

5

，

1

2

)∪{0}．

點評：本題考查復雜函數的單調性證明以及利用函數的奇偶性求對稱區間上的解析式，思路簡單，運算變形較繁，是一道提高答題者耐心的好題．屬中檔題．