Question

已知函數f（x）=aln（1+e^x）-（a+1）x，（其中a＞0），點A（x₁，f（x₁），，B（x₂•f（x₂））C（x₃，f（x₃））從左到右依次是函數y=f（x）圖象上的不同點，且x₁，x₂，x₃成等差數列．
（1）證明：函數f（x）在R上是單調遞減函數；
（2）證明：△ABC為鈍角三角形；
（3）請問△ABC能否成為等腰三角形？若能，求△ABC面積的最大值；若不能，說明理由．

Answer 1

分析：（1）∵f（x）=aln（1+e^x）-（a+1）x，欲證函數f（x）在（-∞，+∞）上是單調減函數，只須證明其導數f′（x）＜0即可；
（2）先設A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），C（x₃，f（x₃））且x₁＜x₂＜x₃，欲證：△ABC是鈍角三角形，只須證明其中一個內角為鈍角即可，結合向量的坐標運算，只須證明：

BA

•

BC

＜0即得；
（3）假設△ABC為等腰三角形，則只能是 |

BA

|=|

BC

|，再利用平面內兩點的距離公式將點的坐標代入計算，如出現矛盾，則△ABC不可能為等腰三角形，如不矛盾，則△ABC能是等腰三角形．

解答：解：（1）∵f（x）=aln（1+e^x）-（a+1）x，∴f′(x)=

aex

1+ex

-(a+1)=

-(a+1)-ex

1+ex

＜0恒成立，
所以函數f（x）在（-∞，+∞）上是單調減函數．（3分）
（2）證明：據題意A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），C（x₃，f（x₃））且x₁＜x₂＜x₃，
由（Ⅰ）知f（x₁）＞f（x₂）＞f（x₃），x₂=

x1+x3

2

（4分）
可得A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），C（x₃，f（x₃））三點不共線
（反證法：否則 2ex2=ex1+ex3≥2

ex1+x3

=2ex2，得x₁=x₃）
∴

BA

=(x1-x2，f(x1)-f(x2))，

BC

=(x3-x2，f(x3)-f(x2)
∴

BA

•

BC

=(x1-x2)(x3-x2)+[f(x1)-f(x2)][f(x3)-f(x2)]（6分）
∵x₁-x₂＜0，x₃-x₂＞0，f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x₃）-f（x₂）＜0，∴

BA

•

BC

＜0，∴∠B∈(

π

2

，π)
即△ABC是鈍角三角形（8分）
（3）假設△ABC為等腰三角形，則只能是 |

BA

|=|

BC

|
即：（x₁-x₂）²+[f（x₁）-f（x₂）]²=（x₃-x₂）²+[f（x₃）-f（x₂）]²∵x₂-x₁=x₃-x₂∴[f（x₁）-f（x₂）]²=[f（x₃）-f（x₂）]²
即2f（x₂）=f（x₁）+f（x₃） ?2aln(1+ex2)-2(a+1)x2=a[ln(1+ex1)(1+ex3)-(a+1)(x1+x3)?2aln(1+ex2)-2(a+1)x2=a[ln(1+ex1)(1+ex3)-2(a+1)x2?2ln(1+ex2)=ln(1+ex1)(1+ex3)?(1+ex2)2=(1+ex1)(1+ex3)?e2x2+2ex2=ex1+x3+ex1+ex3?2ex2=ex1+ex3①（11分）
而事實上，ex1+ex3≥2

ex1+x3

=2ex2②
由于 ex1＜ex3，故（2）式等號不成立．這與（1）式矛盾．
所以△ABC不可能為等腰三角形．（13分）

點評：此題是個難題．本小題主要考查利用導數研究函數的單調性、數量積表示兩個向量的夾角、兩點間距離公式的應用等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想，同時考查學生靈活應用知識分析解決問題的能力和計算能力．