Question

已知函數f(x)=ab^x的圖象過點A(4,)和B(5,1).

(1)求函數f(x)的解析式;

(2)記a_n=log₂f(n),n是正整數,S_n是數列{a_n}的前n項和,解關于n的不等式a_nS_n≤0;

(3)對于(2)中的a_n與S_n,整數10⁴是否為數列{a_nS_n}中的項?若是,則求出相應的項數;若不是,請說明理由.

Answer 1

分析:(1)把點A、B的坐標代入f(x)=a·b^x即可確定a、b的值.

(2)先判斷{a_n}的類型,確定求S_n的方法.

(3)判斷10⁴是否為{a_nS_n}中的項,一般看a_nS_n=10⁴有無正整數解,但此題出現三次方程,不易求解,故此法不行.觀察a_nS_n=2n(n-5)(n-9)的特點,可知n≤4時較小,5≤n≤9時,a_nS_n≤0,n≥10時,a_nS_n是關于n的增函數,可估算接近10⁴的值.

解:(1)由得

∴f(x)=·4^x.

(2)由題意a_n=log₂(·4ⁿ)=2n-10,

S_n=(a₁+a_n)=n(n-9),

a_nS_n=2n(n-5)(n-9).

    由a_nS_n≤0,得5≤n≤9,

    故n=5,6,7,8,9.

(3)a₁S₁=64,a₂S₂=84,a₃S₃=72,a₄S₄=40,

    當5≤n≤9時,a_nS_n≤0,

    當10≤n≤22時,a_nS_n≤a₂₂S₂₂=9 724＜10⁴;

    當n≥23時,a_nS_n≥a₂₃S₂₃=11 592＞10⁴.

∴10⁴不是{a_nS_n}中的項.