Question

已知直線l過點P（2，3），并與x，y軸正半軸交于A，B二點．
（1）當△AOB面積為

27

2

時，求直線l的方程．
（2）求△AOB面積的最小值，并寫出這時的直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）用截距式設出直線方程，利用線l過點P（2，3），及與坐標軸圍成的三角形面積值，求出在坐標軸上的截距，從而得到所求的直線方程．
（2）把點P的坐標代入直線的截距式方程，使用基本不等式求三角形面積最小時截距的值，從而求出直線方程．

解答：解：（1）設直線方程為

x

a

+

y

b

=1（a＞0，b＞0）
由題意得

1

2

ab=

27

2

，

2

a

+

3

b

=1，解得

a=3 b=9

或

a=6 b= 9 2

所以所求直線方程式3x+y-9=0或3x+4y-18=0．

（2）∵1=

2

a

+

3

b

≥2

6 ab

，
所以ab≥24，S≥12當且僅當

2

a

=

3

b

=

1

2

時取等號，
所以此時直線方程為3x+2y-12=0．

點評：本題考查直線方程的截距式，用待定系數法求出待定系數，利用基本不等式求最值，注意檢驗等號成立的條件．