Question

（2007•閔行區一模）已知數列{a_n}和{b_n}的通項公式分別是an=

an2+2

bn2-n+3

，bn=(1+

1

n

)bn，其中a、b是實常數．若

lim

n→∞

an=2，

lim

n→∞

bn=e

1

2

，且a，b，c成等比數列，則c的值是

1

4

．

Answer 1

分析：由

lim

n→∞

an=

lim

n→∞

an2+2

bn2-n+3

=

a

b

=2可得b=2a；由

lim

n→∞

bn=

lim

n→∞

(1+

1

n

)bn=eb=e

1

2

可求a，b，結合a，b，c成等比數列 可求c

解答：解：∵

lim

n→∞

an=

lim

n→∞

an2+2

bn2-n+3

=

a

b

=2
∴b=2a
又∵

lim

n→∞

bn=

lim

n→∞

(1+

1

n

)bn=eb=e

1

2

∴b=

1

2

，a=2b=1
∵a，b，c成等比數列∴b²=ac
∴c=

1

4

故答案為：

1

4

點評：本題主要考查了形如

∞

∞

數列極限的求解，解題中重要極限

lim

n→∞

(1+

1

n

)n=e的應用是解決本題的一個關鍵所在，要注意掌握．