Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面是邊長為a的菱形，∠ABC=60°PD⊥面ABCD，PC=a，E為PB中點
（1）求證；平面ACE⊥面ABCD；
（2）求三棱錐P-EDC的體積．

Answer 1

分析：（1）設AC∩BD=0，連EO，則EO∥PD，由PC⊥平面ABCD，知EO⊥平面ABCD，由此能夠證明平面EDB⊥平面ABCD．
（2）作DH⊥DC交BC于H，由平面PDC⊥平面ABCD，知OH⊥平面PDC，由EO∥PDC，知OE∥平面PDC，故點E到平面PDC距離就是點O到平面PDC的距離OH，由此能求出三棱錐P-EDC的體積．

解答：（1）證明：設AC∩BD=0，連EO，則EO∥PD，
∵PC⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD，
又∵EO?平面ACE，∴平面EDB⊥平面ABCD．…（4分）
（2）解：作DH⊥DC交BC于H，
∵平面PDC⊥平面ABCD，∴OH⊥平面PDC，
又∵EO∥PDC，EO?平面PDC，PC?平面PDC，
∴OE∥平面PDC，
∴點E到平面PDC距離就是點O到平面PDC的距離OH．…（8分）
在△HOD中，OH=

3

2

asin30°=

3

4

a
設點E到平面PDC的距離為d，
則d=

3

4

a，S△PBC=

1

2

a2，
∴VP-EDC=VE-PDC=

1

3

dS△PDC=

3

24

a3．…（12分）

點評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法．解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．