Question

【題目】已知（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），.

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極小值；

（2）當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)見解析

【解析】

(1)由題意，當(dāng)時(shí)，然后求導(dǎo)函數(shù)，分析單調(diào)性求得極值；

(2)先將原方程化簡(jiǎn)，然后換元轉(zhuǎn)化成只有一個(gè)零點(diǎn)，再對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，討論單調(diào)性，利用零點(diǎn)存在性定理求得a的取值.

（1）當(dāng)時(shí)，令解得

	遞減	極小值	遞增

（2）設(shè)，

令，，

，設(shè)，，

由得，

，在單調(diào)遞增，

即在單調(diào)遞增，，

①當(dāng)，即時(shí)，時(shí)，，在單調(diào)遞增,又，

此時(shí)在當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解.

②當(dāng)，即時(shí)，

，又

故，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，又，

故當(dāng)時(shí)，，

在內(nèi)，關(guān)于的方程有一個(gè)實(shí)數(shù)解.

又時(shí)，，單調(diào)遞增，

且，令，

,,故在單調(diào)遞增，又

故在單調(diào)遞增，故，故，又，由零點(diǎn)存在定理可知，.

故當(dāng)時(shí)，的方程有兩個(gè)解為和

綜上所述：當(dāng)時(shí)的方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解