Question

（12分）如圖，O 是半徑為2的球的球心，點A．B．C在球面上，OA．OB．OC兩兩垂直，E．F分別是大圓的弧AB與AC的中點。

（1）       求證：EF//面OBC；

（2）       求多面體OAEBCF的體積；

（3）       建立適當的空間直角坐標系，求的坐標，

并求異面直線OF和CE的夾角的余弦值。

Answer 1

解析：(1)過E作EG⊥AO于G，連結FG，則FG⊥AO，所以EG//BO；FG//CO，

又EG∩FG=G，∴面EFG//面BCO，∵EF面EFG，∴EF//面OBC. ………4分

（2）易求得

設CF的延長線交OA的延長線于P，BE的延長線交OA的延長線于Q

由對稱性知P，Q重合，即多面體EFG-BCO是臺體，     ………6分

，則多面體OAEBCF的體積是

                  ………8分

（3）分別以OB．OC．OA為軸建立空間直角坐標系，則

∴        ………10分

∴

∴異面直線OF和CE的夾角的余弦值為      ………12分