Question

在平面直角坐標系中，已知向量

a

=（-1，2），又點A（8，0），B（n，t），C（ksinθ，t）(0≤θ≤

π

2

)．
（1）若

AB

⊥

a

，且|

AB

|=

5

|

OA

|(O為坐標原點），求向量

OB

；
（2）若向量

AC

與向量

a

共線，當k＞4，且tsinθ取最大值4時，求

OA

•

OC

．

Answer 1

分析：（1）根據所給的點的坐標寫出向量的坐標，根據兩個向量垂直數量積為零，得到一個關于變量的方程，題目另一個條件是兩個向量模長之間的關系，列出方程解出結果．
（2）根據向量共線的充要條件，寫出變量之間的關系式，根據二次函數的最值特點得到結果，求出變量的值寫出向量的數量積．

解答：解：（1）∵點A（8，0），B（n，t），
∴

AB

=(n-8，t)，
∵

AB

⊥

a

，
∴

AB

•a=(n-8，t)•(-1，2)=0，
得n=2t+8．
則

AB

=(2t，t)，又|

AB

|=

5

|

OA

|，|

OA

|=8．
∴（2t）²+t²=5×64，
解得t=±8，
當t=8時，n=24；當t=-8時，n=-8．
∴

OB

=(24，8)或

OB

=(-8，-8)．
（2）∵向量

AC

與向量

a

共線，
∴t=-2ksinθ+16，tsinθ=(-2ksinθ+16)sinθ=-2k(sinθ-

4

k

)2+

32

k

．
∵k＞4，
∴0＜

4

k

＜1，
故當sinθ=

4

k

時，tsinθ取最大值

32

k

，有

32

k

=4，得k=8．
這時，sinθ=

1

2

，k=8，tsinθ=4，得t=8，則

OC

=(4，8)．
∴

OA

•

OC

=(8，0)•(4，8)=32．

點評：要讓學生體會思路的形成過程，體會數學思想方法的應用．要學生發現解題方法和思路的形成過程，總結解題規律．學生要搞好解題后的反思，從而提高學生綜合應用知識分析和解決問題的能力．