Question

（2013•薊縣二模）某工廠生產的零件標準分成9個等級，等級系數X依次為1，2，…，9，X≥4為合格標準，且該廠的零件都符合相應的合格標準．從該廠生產的零件中隨機抽取30件，相應的等級系數組成一個樣本，數據如下：
4   6   4   4   9   6   6   7   4   5
7   4   5   8   6   4   5   9   6   4
9   4   5   4   5   5   8   6   7   8
規定零件的等級系數X≥8的為一等品，等級系數6≤X＜8的為二等品，等級系數4≤X＜6的為三等品．
（Ⅰ）試分別估計該廠生產的零件一等品頻率、二等品頻率和三等品頻率；
（Ⅱ）從樣本的一等品中隨機抽取2件，
①列出兩件產品等級系數的所有結果；
②求所抽得2件產品等級系數不同的概率．

Answer 1

分析：（I）根據題意，由樣本數據可得30件產品中一等品、二等品、三等品的數目，計算可得三個等級各自的其頻率，由頻率的意義可得答案；
（II）根據題意，由樣本數據知樣本中一等品有6件，其中等級系數為8和等級系數為9的各有3件，記等級系數為8的3件產品分別為C₁、C₂、C₃，等級系數為9的3件產品分別為P₁、P₂、P₃，可列舉從樣本的一等品中隨機抽取2件的全部情況，可得所抽得2件產品等級系數不同的情況數目，由等可能事件的概率公式，計算可得答案．

解答：解：（I）根據題意，由樣本數據知，30件產品中，一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件．
∴樣本中一等品的頻率為

6

30

=0.2，故估計該廠生產的產品的一等品率為0.2，
二等品的頻率為

9

30

=0.3，故估計該廠產品的二等品率為0.3，
三等品的頻率為

15

30

=0.5，故估計該廠產品的三等品率為0.5．
（II）①根據題意，由樣本數據知，樣本中一等品有6件，其中等級系數為8的有3件，等級系數為9的也有3件，記等級系數為8的3件產品分別為C₁、C₂、C₃，等級系數為9的3件產品分別為P₁、P₂、P₃，
則從樣本的一等品中隨機抽取2件的所有可能為：（C₁，C₂），（C₁，C₃），（C₁，P₁），（C₁，P₂），（C₁，P₃），（C₂，C₃），（C₂，P₁），（C₂，P₂），（C₂，P₃），（C₃，P₁），（C₃，P₂），（C₃，P₃），（P₁，P₂），（P₁，P₃）（P₂，P₃），共15種，
②記從“一等品中隨機抽取2件，2件等級系數不同”為事件A，
則A包含的基本事件有
（C₁，P₁），（C₁，P₂），（C₁，P₃），（C₂，P₁），（C₂，P₂），
（C₂，P₃），（C₃，P₁），（C₃，P₂），（C₃，P₃）共9種，
故所求的概率P（A）=

9

15

=0.6．

點評：本題考查等可能事件的概率的計算，關鍵要正確列舉事件的全部情況，做到不重不漏．