Question

【題目】如圖，AB是半圓O的直徑，C是半圓O上除A，B外的一個動點，DC垂直于半圓O所在的平面，DC∥EB，DC＝EB＝1，AB＝4.

（1）證明：平面ADE⊥平面ACD；

（2）當C點為半圓的中點時，求二面角D﹣AE﹣B的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）由BC⊥AC，BC⊥CD得BC⊥平面ACD，證明四邊形DCBE是平行四邊形得DE∥BC，故而DE平面ACD，從而得證面面垂直；

（2）建立空間坐標系，求出兩半平面的法向量，計算法向量的夾角得出二面角的大小.

（1）證明：∵AB是圓O的直徑，∴AC⊥BC，

∵DC⊥平面ABC，BC平面ABC，

∴DC⊥BC，又DC∩AC＝C，

∴BC⊥平面ACD，

∵DC∥EB，DC＝EB，

∴四邊形DCBE是平行四邊形，∴DE∥BC，

∴DE⊥平面ACD，

又DE平面ADE，

∴平面ACD⊥平面ADE.

（2）當C點為半圓的中點時，AC＝BC＝2，

以C為原點，以CA，CB，CD為坐標軸建立空間坐標系如圖所示：

則D（0，0，1），E（0，2，1），A（2，0，0），B（0，2，0），

∴（﹣2，2，0），（0，0，1），（0，2，0），（2，0，﹣1），

設平面DAE的法向量為（x1，y1，z1），平面ABE的法向量為（x2，y2，z2），

則，，即，，

令x1＝1得（1，0，2），令x2＝1得（1，1，0）.

∴cos.

∵二面角D﹣AE﹣B是鈍二面角，

∴二面角D﹣AE﹣B的余弦值為.