Question

給出定義：若（其中m為整數(shù)），則m叫離實(shí)數(shù)x最近的整數(shù)，記作[x]=m，已知f（x）=|[x]-x|，下列四個(gè)命題：
①函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124521008935554/SYS201310251245210089355007_ST/1.png">； ②函數(shù)f（x）是R上的增函數(shù)；
③函數(shù)f（x）是周期函數(shù)，最小正周期為1；  ④函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，
其中正確的命題的個(gè)數(shù)是（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)讓函數(shù)解析式有意義的原則確定函數(shù)的定義域，然后根據(jù)解析式易用分析法求出函數(shù)的值域；通過取特值的辦法可判斷②錯(cuò)誤；再判斷f（x+1）=f（x）是否成立，可以判斷③的正誤；通過判斷f（-x）是否等于f（x），來判斷④函數(shù)的奇偶性．
解答：解：①中，令x=m+a，a∈[-，）
∴f（x）=|[x]-x|=|m-（m+a）|=|a|∈[0，]，
所以①正確；
②中，∵∈[-，）-∈[-，），且[]=0，[-]=-1
f（-）=|[-]+|=，f（）=|[]-|=，
不滿足區(qū)間[-，）上單調(diào)遞增，故②錯(cuò)誤；
③中，∵f（x+1）=|[x+1]-（x+1）|=|[x]-x|=f（x）
所以周期為1，故③正確；
∵（m∈Z），
∴-m-＜-x≤-m+（m∈Z）
∴f（-x）=|[-x]-（-x）|=|（-m）+x|=|x-m|，f（x）=|[x]-x|=|m-x|
∴f（-x）=f（x）
∴④正確
綜上所述，①③④正確．
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的周期性，我們要根據(jù)定義中給出的函數(shù)，結(jié)合求定義域、值域的方法，周期性和單調(diào)性的證明方法，對(duì)4個(gè)結(jié)論進(jìn)行驗(yàn)證，屬于難題．