Question

【題目】已知橢圓的離心率為，點是橢圓上的點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）已知斜率存在又不經(jīng)過原點的直線與圓相切，且與橢圓交于兩點.探究：在橢圓上是否存在點，使得，若存在，請求出實數(shù)的取值范圍，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，

【解析】

（1）根據(jù)題意列方程組， 求解即可.

（2）假設(shè)在橢圓上存在點，使得.設(shè)直線，圓心到直線的距離等于半徑1，可知，整理的，直線與橢圓聯(lián)立得，，設(shè)，則，，根據(jù)，表示出點，代入橢圓得，求解即可.

（1）依題意，，故①.

將代入橢圓的方程中，可得②.

聯(lián)立①②，解得

故橢圓的標準方程為.

（2）假設(shè)在橢圓上存在點，使得.

依題意，設(shè)直線，

因為直線與圓相切，

所以圓心到直線的距離等于半徑，即

整理得.

當時，不合題意，舍去；

當且時，得，把代入橢圓

的方程得：.

易知，圓在橢圓內(nèi)，所以直線與橢圓相交，設(shè)，

則，，

，

.

因為，故，

即的坐標為.

又因為在橢圓上，所以，

得.

把代入得；

因為，所以，，

即或，

綜上所述實數(shù)的取值范圍為.