Question

（本小題16分）

已知拋物線的頂點在坐標原點，對稱軸為軸，焦點在直線上，直線與拋物線相交于兩點，為拋物線上一動點（不同于），直線分別交該拋物線的準線于點。

（1）求拋物線方程；

（2）求證：以為直徑的圓經過焦點，且當為拋物線的頂點時，圓與直線相切。

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）證明見解析

【解析】（1）依題意，焦點，拋物線方程為。……………4分

（2）由得，，，

 ∴。            ……………………6分

設，則，

直線：，令，

得，即， ……………………8分

同理，直線：，令，得，

即，……………………10分

∴，∴，

∴以為直徑的圓經過焦點。  ……………………13分

當為拋物線的頂點時，，可得中點，即圓心，

，，∴，即，

∴圓與直線相切。