Question

（本題滿分15分）
在平面內，已知橢圓的兩個焦點為，橢圓的離心率為 ，點是橢圓上任意一點， 且，
（1）求橢圓的標準方程；
（2）以橢圓的上頂點為直角頂點作橢圓的內接等腰直角三角形，這樣的等腰直角三角形是否存在？若存在請說明有幾個、并求出直角邊所在直線方程？若不存在，請說明理由．

Answer 1

(1)  (2)

試題分析：解：（1）由題意得， 
方程為：                                  ---------------------5分
（2）設的直線方程為設，（不妨設）
由得，    ----------------------7分
 


由得，即，即或
所以，存在3個等腰直角三角形。
直角邊所在直線方程為        ………15分
注：求出的給2分
點評：解決該試題的關鍵是熟練運用橢圓的性質得到a,b,c的關系，進而得到其方程，同時聯立方程組，結合韋達定理來求解探索性問題，屬于中檔題。