Question

已知函數(shù)y=f（x），x∈R滿足f（x）=af（x-1），a是不為0的實(shí)常數(shù)．
（1）若當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）=x（1-x），求函數(shù)y=f（x），x∈[0，1]的值域；
（2）若當(dāng)0≤x＜1時(shí)，f（x）=x（1-x），求函數(shù)y=f（x），x∈[n，n+1），n∈N的解析式；
（3）若當(dāng)0＜x≤1時(shí)，f（x）=3^x，試研究函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是否可能是單調(diào)函數(shù)？若可能，求出a的取值范圍；若不可能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）、配成完全平方利用配方法求值域；
（2）、根據(jù)f（x）=af（x-1）逐步利用當(dāng)0≤x＜1時(shí)，f（x）=x（1-x），
表示出1≤x＜2，2≤x＜3，3≤x＜4，，…n≤x＜n+1上的解析式；
（3）、由第二問得到f_n（x）=aⁿ•3^x-n，根據(jù)a的正負(fù)分類分別研究單調(diào)性，我們知道每一段上為單調(diào)函數(shù)，
但整個(gè)定義域上不一定單調(diào)，若單調(diào)增（減），只需每一段的最大（小）值小（大）于等于下一段的最小（大）值即可．

解答：解：（1）∵f(x)=-(x-

1

2

)2+

1

4

，x∈[0，1]，∴f(x)∈[0，

1

4

]．
（2）當(dāng)n≤x≤n+1（n≥0，n∈Z）時(shí)．，f_n（x）=af_n-1（x-1）=a²f_n-1（x-2）=…=aⁿf₁（x-n），
∴f_n（x）=aⁿ（x-n）（n+1-x）．
（3）當(dāng)n≤x≤n+1（n≥0，n∈Z）時(shí)，f_n（x）=af_n-1（x-1）=a²f_n-1（x-2）=…=aⁿf₁（x-n）
∴f_n（x）=aⁿ•3^x-n
顯然f_n（x）=aⁿ•3^x-n，x∈[n，n+1]，n≥0，n∈Z，
當(dāng)a＞0 時(shí)是增函數(shù)，此時(shí)∴f_n（x）∈[aⁿ，3aⁿ]
若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，則必有aⁿ⁺¹≥3aⁿ，解得a≥3；
當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，∞）上不是單調(diào)函數(shù)；
所以a≥3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了求函數(shù)值域，函數(shù)解析式，函數(shù)的單調(diào)性，用到了配方法求函數(shù)值域，
利用f（x）=af（x-1）恒等式逐步求每段上的解析式，
特別注意分段函數(shù)，當(dāng)每一段上單調(diào)，整個(gè)定義域上不一定單調(diào)，要單調(diào)，要比較相鄰段上的最值大小．