Question

【題目】已知函數.

（1）函數在區間（）上有零點，求k的值；

（2）若不等式對任意正實數x恒成立，求正整數m的取值集合.

Answer 1

【答案】（1）0或3；（2）.

【解析】

（1）求導，可得時，函數單調遞減，時，函數單調遞增，然后利用零點存在定理，根據驗證求解.

（2）根據（1）分三種情況討論，當時，不等式為.顯然恒成立； 當時，轉化為，令，求其最大值，當時，轉化為，令，求其最小值即可.

（1）令，得，

當時，，函數單調遞減；

當時，，函數單調遞增，

所以的極小值為，又，

所以在區間上存在一個零點，此時；

因為，，

所以在區間上存在一個零點，此時.

綜上，k的值為0或3；

（2）當時，不等式為.顯然恒成立，此時；

當時，不等式，可化為，

令，則，

由（1）可知，函數在上單調遞減，且存在一個零點，

此時，即，

當時，，即，函數單調遞增；

當時，，即，函數單調遞減.

∴有極大值，即最大值為，

于是.

當時，不等式，可化為，

由（1）可知，函數在上單調遞增，且存在一個零點，同理可得.

綜上可知.

又，，∴正整數m的取值集合為.