Question

如圖，三棱柱A₁B₁C₁-ABC的三視圖，主視圖和側(cè)視圖是全等的矩形，俯視圖是等腰直角三角形，點(diǎn)M是A₁B₁的中點(diǎn)．
（I）求證：B₁C∥平面AC₁M；
（II）求證：平面AC₁M⊥平面AA₁B₁B．

Answer 1

證明：（I）由三視圖可知三棱柱A₁B₁C₁-ABC為直三棱柱，底面是等腰直角三角形且∠ACB=90°，連接A₁C，設(shè)A₁C∩AC₁=O．連接MO，由題意可知A₁O=CO，A₁M=B₁M，所以MO∥B₁C．
∵M(jìn)O?平面AC₁M，B₁C?平面AC₁M
∴B₁C∥平面AC₁M；
（II）∵A₁C₁=B₁C₁，點(diǎn)M是A₁B₁的中點(diǎn)
∴C₁M⊥A₁B₁，
∵平面A₁B₁C₁⊥平面AA₁B₁B，平面A₁B₁C₁∩平面AA₁B₁B=A₁B₁，
∴C₁M⊥平面AA₁B₁B
∵C₁M?平面AC₁M
∴平面AC₁M⊥平面AA₁B₁B．