Question

【題目】已知點，的兩頂點，且點滿足

（1）求動點的軌跡方程；

（2）設，求動點的軌跡方程；

（3）過點的動直線與曲線交于不同兩點，過點作軸垂線，試判斷直線與直線的交點是否恒在一條定直線上？若是，求該定直線的方程，否則，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）兩直線，的交點恒落在直線上。

【解析】

（1）設出點的坐標，代入，化簡后求得動點的軌跡方程.（2）設出點的坐標，利用向量相等列方程，轉化為的坐標，代入（1）中的方程可求得的方程.（3）設出直線的方程，代入的方程，化簡后寫出韋達定理，寫出直線和直線的方程并求出它們的交點坐標，化簡后可知兩直線，的交點恒落在直線上.

（1）設動點，其中.由得：

（2）設點，由得代入（1）中的方程得：，

即曲線的軌跡方程為.

（3）顯然過點的直線不垂直軸，設，同時設，.

由消整理得：.

由韋達定理得：，.

直線.

直線.

聯立①②求解交點，消得：.

.

把韋達定理中的及變形式代入上式得：

（與無關）.

故兩直線，的交點恒落在直線上.