Question

斜率為

4

3

的直線l經過拋物線y²=2px的焦點F（1，0），且與拋物線相交于A、B兩點．
（1）求該拋物線的標準方程和準線方程；
（2）求線段AB的長．

Answer 1

分析：（1）根據焦點可求出p的值，從而求出拋物線的方程，即可得到準線方程；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），將直線l的方程與拋物線方程聯立消去y，整理得4x²-17x+4=0，得到根與系數的關系，由拋物線的定義可知|AB|=x₁+x₂+p，代入即可求出所求．

解答：解：（1）由焦點F（1，0），得

p

2

=1，解得p=2．…（2分）
所以拋物線的方程為y²=4x，其準線方程為x=-1，…（4分）
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
直線l的方程為y=

4

3

•(x-1)．    …（5分）
與拋物線方程聯立，得

y= 4 3 (x-1) y2=4x

，…（7分）
消去y，整理得4x²-17x+4=0，…（9分）
由拋物線的定義可知，|AB|=x1+x2+p=

17

4

+2=

25

4

．
所以，線段AB的長為

25

4

．…（13分）

點評：本題主要考查了拋物線的標準方程，以及過焦點的直線與拋物線相交的弦長等問題，屬于中檔題．