Question

已知拋物線C：y²=4x，焦點為F，直線l過點P（0，1）
（Ⅰ）若直線l與拋物線C有且僅有一個公共點，求直線l的方程
（Ⅱ）若直線l恰好經過點F且與拋物線C交于A，B兩不同的點，求弦長|AB|的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當直線與拋物線的對稱軸平行時直接寫出直線方程，不平行時，設出直線方程，和拋物線方程聯立后利用判別式等于0求解；
（Ⅱ）求出過P點和焦點的直線l的方程和拋物線方程聯立后化為關于x的一元二次方程，由根與系數關系結合拋物線的定義求得弦長|AB|的值．

解答：解：（Ⅰ）因為直線l與拋物線C有且僅有一個公共點
當直線與拋物線的對稱軸平行時，l：y=1
當直線與拋物線的對稱軸不平行時，設l：x=m（y-1）
與拋物線的方程聯立得y²-4my+4m=0，
則△=16m²-16m=0⇒m=0或1，故此時直線l的方程為：x=0或y=x+1
綜上，所求直線直線l的方程為：y=1或x=0或y=x+1；
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
因為直線l恰好經過點F．故l：y=-x+1，
代入拋物線方程得x²-6x+1=0．
x₁+x₂=6
所以弦長|AB|=x₁+x₂+2=8．

點評：本題考查了直線與圓錐曲線的綜合題，考查了拋物線的定義和直線與曲線的相切問題，解決此類問題的必須熟悉曲線的定義和曲線的圖形特征，這也是高考常考的知識點，是中檔題．