Question

已知x=3是函數f（x）=（x²+ax+b）e^3-x，（x∈R）的一個極值點．
（Ⅰ）求a與b的關系式（用a表示b），并求f（x）的單調區間；
（Ⅱ）當a＞0時，求f（x）在[0，4]上的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出f′（x），因為x=3是函數f（x）的一個極值點得到f′（3）=0即可得到a與b的關系式；令f′（x）=0，得到函數的極值點，用a的范圍分兩種情況分別用極值點討論得到函數的單調區間；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當a＞0時，f（x）在區間（0，3）上的單調遞增，在區間（3，4）上單調遞減，得到f（x）在區間[0，4]上的值域．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=（2x+a）e^3-x-（x²+ax+b）e^3-x=-[x²+（a-2）x+b-a]e^3-x
由f'（3）=0得b=-3-2a…3
f'（x）=-（x-3）（x+a+1）e^3-x
（1）當-a-1＞3，即a＜-4時，
令f'（x）＞0得3＜x＜-a-1
令f'（x）＜0得x＜3或x＞-a-1．
（2）當-a-1=3，即a=-4時，f'（x）=-（x-3）²e^3-x，
由于-（x-3）²≤0，且e^3-x＞0，
故f'（x）=-（x-3）²e^3-x≤0恒成立；
（3）當-a-1＜3，即a＞-4時，
令f'（x）＞0得-a-1＜x＜3
令f'（x）＜0得x＜-a-1或x＞3，
綜上述：
（1）當a＜-4時f（x）的單調遞增區間為（3，-a-1），遞減區間（-∞，3），（-a-1，+∞）
（2）當a＞-4時f（x）的單調遞增區間為（-a-1，3），遞減區間（-∞，-a-1），（3，+∞）
（3）當a=-4時f（x）在（-∞，+∞）上單調遞減．…8
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當a＞0時，f（x）在區間（0，3）上的單調遞增，在區間（3，4）上單調遞減，
那么f（x）在區間[0，4]上的值域是[min（f（0），f（4）），f（3）]，
而f（0）=-（2a+3）e³＜0，f（4）=（2a+13）e^-1＞0，f（3）=a+6，
那么f（x）在區間[0，4]上的值域是[-（2a+3）e³，a+6]．

點評：本題主要考查函數、導數在最大值、最小值問題中的應用和導數的應用等知識，考查綜合運用數學知識解決問題的能力．