Question

已知數列{a_n}的首項為2，點（a_n，a_n+1）在函數x-y+2=0的圖象上
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設數列{a_n}的前n項之和為S_n，求

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

的值．

Answer 1

分析：（I）由點（an ，a_n+1）在函數y=x+2的圖象上，知a_n+1=a_n+2．由此能求出數列{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知S_n=

(2n+2)n

2

=n（n+1）．所以

1

Sn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，由此利用裂項求和法能求出

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

的值．

解答：（本題滿分10分）
解：（I）∵點（an ，a_n+1）在函數y=x+2的圖象上，∴a_n+1=a_n+2．（2分）
∴數列{a_n}是以首項為2公差為2的等差數列，（3分）
∴a_n=2+2（n-1）=2n．（4分）
（Ⅱ）∵數列{a_n}是以首項為2公差為2的等差數列，
∴S_n=

(2n+2)n

2

=n（n+1）．（5分）
∴

1

Sn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，（7分）
∴

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）（8分）
=1-

1

n+1

=

n

n+1

．（10分）

點評：本題考查數列的通項公式和前n項和公式的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意裂項求和法的合理運用．