Question

【題目】已知正三棱錐的體積為，每個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為的球面上，球心在此三棱錐內(nèi)部，且，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，過點(diǎn)作球的截面，則所得截面圓面積的最小值是__________．

Answer 1

【答案】

【解析】分析：設(shè)BC=3k，根據(jù)勾股定理列方程得出k，求出OE，從而求出最小截面的半徑，得出面積．

詳解：設(shè)BC=3k，則R=2k（k＞0），設(shè)三棱錐的高為h，則，

∴h=．

∵球心O在了棱錐內(nèi)部，∴h＞R，即＞2k，即k3＜12．

∵正三棱錐A﹣BCD的每個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為R的球O的球面上，

∴R2=（h﹣R）2+（k）2，解得k3=8或k3=24（舍），

∴k=2，R=4．

∵E為線段BD的中點(diǎn)，OB=OD=4，BD=6，∴OE=．

∴當(dāng)截面垂直于OE時(shí)，截面面積最小，此時(shí)截面圓的半徑r==3，

∴截面圓面積最小值為πr2=9π．

故答案為：9π．