Question

已知函數f（x）=x（x-a）（x-b），點A（m，f（m）），B（n，f（n））．
（1）設b=a，求函數f（x）的單調區間；
（2）若函數f（x）的導函數f′（x）滿足：當|x|≤l時，有|f′（x）|≤恒成立，求函數f（x）的表達式；
（3）若0＜a＜b，函數f（x）在x=m和x=n處取得極值，且a+b≤2．問：是否存在常數a、b，使得•=0？若存在，求出a，b的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知可得f'（x）=3x²-4ax+a²=0得：x₁=，x₂=a，要比較a與，的大小，故需分a＞0，a＜0 時，a=0 三種情況討論，進行求解函數的單調區間
（2）由于f'（x）=3x²-2（a+b）x+ab，當x∈[-1，1]時，恒有|f'（x）|≤
可得-，代入可求a，b的關系及函數的解析式
（3）假設存在a，b，使得，則可得m•n+f（m）•f（n）=0，由題設，m，n是f'（x）=0的兩根，代入可得ab（a-b）²=9，結合基本不等式可求
解答：解：（1）f（x）=x³-2ax²+a²x 令f'（x）=3x²-4ax+a²=0，
得：x₁=，x₂=a．（2分）
1° 當a＞0 時，x₁＜x₂
∴所求單調增區間是，（a，+∞），單調減區間是（，a ）
2° 當a＜0 時，所求單調增區間是（-∞，a），，單調減區間是（a， ）
3° 當a=0 時，f'（x）=3x²≥0 所求單調增區間是（-∞，+∞）．（5分）
（2）f（x）=x³-（a+b）x²+abx∴f'（x）=3x²-2（a+b）x+ab，
∵當x∈[-1，1]時，恒有|f'（x）|≤∴-，（8分）即 得
此時，滿足當x恒成立．
∴x．（10分）
（3）存在a，b，使得，則m•n+f（m）•f（n）=0
∴mn+mn（m-a）（m-b）（n-a）（n-b）=0由于0＜a＜b，知mn≠0
∴（m-a）（m-b）（n-a）（n-b）=-1＜BR＞①由題設，m，n是f'（x）=0的兩根
∴②（12分）②代入①得：ab（a-b）²=9
∴，當且僅當時取“=”
∴∵a+b≤2∴
又∵ab=．（16分）
點評：本題以結合函數的導數知識：導數與函數的單調性、導數與函數的極值，考查了函數的恒成立問題的轉化，屬于函數知識的綜合應用．