Question

（本小題滿分12分）
已知動圓P過點并且與圓相外切，動圓圓心P的軌跡為W，過點N的直線與軌跡W交于A、B兩點。
（Ⅰ）求軌跡W的方程；   （Ⅱ）若，求直線的方程；
（Ⅲ）對于的任意一確定的位置，在直線上是否存在一點Q，使得，并說明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）依題意可知 ∴，
∴點P的軌跡W是以M、N為焦點的雙曲線的右支，設其方程為，則  ∴，∴軌跡W的方程為
（Ⅱ）當的斜率不存在時，顯然不滿足，故的斜率存在，設的方程為，由得，又設，
則                              高#考#資#源#
由①②③解得，∵ ∴
∴ 代入①②得，
消去得，即，故所求直線的方程為：；
（3）問題等價于判斷以AB為直徑的圓是否與直線有公共點若直線的斜率不存在，
則以AB為直徑的圓為，可知其與直線相交；
若直線的斜率存在，則設直線的方程為，
由（2）知且，又為雙曲線的右焦點，
雙曲線的離心率e=2，則
設以AB為直徑的圓的圓心為S，點S到直徑的距離為d，則
∴
∵  ∴即，即直線與圓S相交。
綜上所述，以線段AB為直徑的圓與直線相交；
故對于的任意一確定的位置，
與直線上存在一點Q（實際上存在兩點）使得

略