Question

【題目】已知圓經過兩點，，且圓心在直線：上．

（1）求圓的方程；

（2）設圓與軸相交于、兩點，點為圓上不同于、的任意一點，直線、交軸于、點．當點變化時，以為直徑的圓是否經過圓內一定點？請證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當點變化時，以為直徑的圓經過定點．證明見解析

【解析】

（1）設圓圓心為，由求得的值，可得圓心坐標和半徑，從而求得圓的標準方程；

（2）設（），由條件求得，的坐標，可得圓的方程，再根據定點在軸上，求出定點的坐標。

（1）設圓圓心為，

由得，，

解得，∴，

半徑為，

所以圓：

（2）設（），則．

又，，

所以：，，

：，．

圓的方程為．

化簡得，

由動點關于軸的對稱性可知，定點必在軸上，

令，得．又點在圓內，

所以當點變化時，以為直徑的圓經過定點．