Question

過直角坐標平面xOy中的拋物線y²=2px（p＞0）的焦點F作一條傾斜角為

π

4

的直線與拋物線相交于A、B兩點．
（1）求直線AB的方程；
（2）試用p表示A、B之間的距離；
（3）證明：∠AOB的大小是與p無關的定值．

Answer 1

分析：（1）根據所給的拋物線的方程寫出拋物線的焦點坐標，又有所給的直線的傾斜角得到這條直線的斜率，由點斜式寫出直線的方程，整理成最簡形式．
（2）要求兩點之間的距離，首先要把直線與拋物線方程聯立，整理出關于x的方程，根據根和系數之間的關系，和拋物線的定義，寫出結果．
（3）由題設知 cos∠AOB=

|AO|2+|BO|2-|AB|2

2|AO||BO|

=

xA2+yA2+xB2+yB2-(xA-xB)2-(yA-yB)2

2 (xA2+yA2)(xB2+yB2)

=

xAxB+yAyB

(xA2+yA2)(xB2+yB2)

=

2xAxB- p 2 (xA+xB)+ p2 4

xAxB[xAxB+2p(xA+xB)+4p2]

=-

3 41

41

，由此可知∠AOB的大小是與p無關的定值，并能求出這個定值．

解答：解：（1）焦點F(

p

2

，0)，
過拋物線焦點且傾斜角為

π

4

的直線方程是y=x-

p

2

，
即x-y-

p

2

=0；

（2）由

y2=2px y=x- p 2

?x2-3px+

p2

4

=0?xA+xB=3p，xAxB=

p2

4

?|AB|=x_A+x_B+p=4p．
（3）cos∠AOB=

|AO|2+|BO|2-|AB|2

2|AO||BO|

=

xA2+yA2+xB2+yB2-(xA-xB)2-(yA-yB)2

2 (xA2+yA2)(xB2+yB2)

=

xAxB+yAyB

(xA2+yA2)(xB2+yB2)

=

2xAxB- p 2 (xA+xB)+ p2 4

xAxB[xAxB+2p(xA+xB)+4p2]

=-

3 41

41

．
∴∠AOB的大小是與p無關的定值．

點評：本題考查直線與圓錐曲線之間的關系，實際上這種問題在解題時考慮的解題方法類似，都需要通過方程聯立來解決問題，注意本題中拋物線還有本身的特點，注意使用，屬中檔題．