Question

【題目】如圖，為矩形，且平面平面，，，，，點是線段上的一點，且．

（1）證明：；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2).

【解析】

（1）利用勾股定理可證明，再由已知的面面垂直得到平面，從而得到，進而得到平面，最后得到要證明的線線垂直．

（2）建立如圖所示的空間直角坐標系，求出平面和平面的法向量后可求二面角的余弦值.

（1）證明：由題意知四邊形是矩形，是以為直角頂點的等腰直角三角形，且，，，．

，．

平面平面，平面平面，，

平面，，

，平面．

平面，．

（2）解：由（1）知，，兩兩垂直，

以為原點，，，所在直線分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，

，.

設平面法向量為，則，

取，則，，故為平面的一個法向量，

易知平面的一個法向量為.

設二面角的平面角為，由題中條件可知，

則，

二面角的余弦值為.