Question

如圖，O是正方形ABCD的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中點．求證：
（1）PA∥平面BDE；
（2）平面PAC⊥平面BDE．

Answer 1

分析：（1）連接OE，OE∥PA，由直線與平面平行的判定定理，可證得PA∥平面BDE；
（2）由PO⊥底面ABCD，可得PO⊥BD；底面為正方形，可得BD⊥AC，由直線和平面垂直的判定定理，可得BD⊥平面PAC，由面面垂直的判定定理，可證得平面PAC⊥平面BDE．

解答：證明：（1）如圖，連接OE
∵O為AC中點，E為PC中點．
∴OE為△PAC的中位線
∴OE∥PA
∵OE?平面BDE，PA?平面BDE
∴PA∥平面BDE．
（2）∵底面ABCD為正方形
∴BD⊥AC
∵PO⊥平面ABCD，BD?平面ABCD
∴PO⊥BD
∵PO?平面PAC，AC?平面PAC，AC∩PO=O
∴BD⊥平面PAC
∵BD?平面BDE
∴平面BDE⊥平面PAC
即平面PAC⊥平面BDE．

點評：本題主要考查了直線與平面平行的判定定理、直線和平面垂直的性質、直線和平面垂直的判定定理、平面與平面垂直的判定定理．