Question

已知數列{a_n}的首項a₁=2a+1（a是常數，且a≠-1），a_n=2a_n-1+n²-4n+2（n≥2），數列{b_n}的首項b₁=a，b_n=a_n+n²（n≥2）．
（1）證明：{b_n}從第2項起是以2為公比的等比數列；
（2）設S_n為數列{b_n}的前n項和，且{S_n}是等比數列，求實數a的值；
（3）當a＞0時，求數列{a_n}的最小項．

Answer 1

分析：（1）利用題設遞推式可表示出n+1時的關系式，整理求得b_n+1=2b_n，最后驗證b₁不符合等比數列的條件，最后綜合可推斷出{b_n}從第2項起是以2為公比的等比數列；
（2）根據等比數列的求和公式可求得其前n項的和，進而可求得

Sn

Sn-1

利用解果為常數即可求得a．
（3）根據（1）可推斷出b_n的通項公式，進而根據題意求得a_n的表達式，對a分類討論，求得答案．

解答：解：（1）∵b_n=a_n+n²
∴b_n+1=a_n+1+（n+1）²=2a_n+（n+1）²-4（n+1）+2+（n+1）²=2a_n+2n²=2b_n（n≥2）
由a₁=2a+1得a₂=4a，b₂=a₂+4=4a+4，
∵a≠-1，∴b₂≠0，
即{b_n}從第2項起是以2為公比的等比數列．
（2）Sn=a+

(4a+4)(2n-1-1)

2-1

=-3a-4+(2a+2)2n
當n≥2時，

Sn

Sn-1

=

(2a+2)2n-3a-4

(2a+2)2n-1-3a-4

=2+

3a+4

(a+1)2n-1-3a-4

∵{S_n}是等比數列，
∴

Sn

Sn-1

（n≥2）是常數，
∴3a+4=0，即a=-

4

3

．
（3）由（1）知當n≥2時，b_n=（4a+4）2^n-2=（a+1）2ⁿ，
所以an=

2a+1  ，(n=1) (a+1)2n-n2，(n≥2)

，
所以數列{a_n}：2a+1，4a，8a-1，16a，32a+7，…
顯然最小項是前三項中的一項．
當a∈(0，

1

4

)時，最小項為8a-1；
當a=

1

4

時，最小項為4a或8a-1；
當a∈(

1

4

，

1

2

)時，最小項為4a；
當a=

1

2

時，最小項為4a或2a+1；
當a∈(

1

2

，+∞)時，最小項為2a+1．

點評：本題主要考查了等比關系的確定和等比數列的性質．考查了基礎知識的綜合運用．