Question

已知△ABC中，a=2

3

，若

m

=(-cos

A

2

，sin

A

2

)，

n

=(cos

A

2

，sin

A

2

)滿足

m

•

n

=

1

2

．（1）若△ABC的面積S=

3

，求b+c的值．（2）求b+c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由

m

和

n

的坐標，及

m

•

n

=

1

2

，利用平面向量的數量積運算法則列出關系式，再利用二倍角的余弦函數公式化簡，得出cosA的值，由A為三角形的內角，利用特殊角的三角函數值求出A的度數，再由a的值，利用余弦定理列出關于b與c的關系式，整理后記作①，由三角形的面積及sinA的值，利用三角形的面積公式求出bc的值，把bc的值代入①即可求出b+c的值；
（2）把（1）得到的關系式①配方變形后，根據完全平方式大于等于0，變形后得出b+c小于等于4，再利用三角形的兩邊之和小于第三邊得到b+c大于a，由a的值得出b+c的范圍，最后由b+c的兩區間求出公共部分，即可得到b+c的取值范圍．

解答：解：（1）∵

m

=(-cos

A

2

，sin

A

2

)，

n

=(cos

A

2

，sin

A

2

)，且

m

•

n

=

1

2

，
∴-cos2

A

2

+sin2

A

2

=

1

2

，即cosA=-

1

2

，
又A為三角形的內角，
∴A=120°，又a=2

3

，
由余弦定理得：b2+c2-2bc(-

1

2

)=(2

3

)2，即（b+c）²-bc=12①，
又S=

1

2

bcsinA=

3

，sinA=

3

2

，
∴bc=4，
將bc=4代入①得：b+c=4；
（2）由（1）得到的（b+c）²-bc=12變形得：

3

4

（b+c）²+

1

4

（b-c）²=12，
即

3

4

（b+c）²=12-

1

4

（b-c）²≤12，
∴（b+c）²≤16，即b+c≤4，
又b+c＞a=2

3

，
則b+c的取值范圍是（2

3

，4]．

點評：此題考查了平面向量的數量積運算，二倍角的余弦函數公式，余弦定理，三角形的面積公式，完全平方公式的運用，以及三角形的邊角關系，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．