Question

已知正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁，點E在棱D₁D上，截面EAC∥D₁B且面EAC與底面ABCD所成的角為45°,AB=a,求：

(1)截面EAC的面積；
(2)異面直線A₁B₁與AC之間的距離；
(3)三棱錐B₁—EAC的體積.

Answer 1

(1)S_△EAC=a(2) A₁B₁與AC距離為a(3)

(1)連結DB交AC于O，連結EO，
∵底面ABCD是正方形
∴DO⊥AC，又ED⊥面ABCD
∴EO⊥AC，即∠EOD=45°
又DO=a，AC=a，EO==a，∴S_△EAC=a
(2)∵A₁A⊥底面ABCD，∴A₁A⊥AC，又A₁A⊥A₁B₁
∴A₁A是異面直線A₁B₁與AC間的公垂線
又EO∥BD₁，O為BD中點，∴D₁B=2EO=2a
∴D₁D=a，∴A₁B₁與AC距離為a
(3)連結B₁D交D₁B于P，交EO于Q，推證出B₁D⊥面EAC
∴B₁Q是三棱錐B₁—EAC的高，得B₁Q=a