Question

如圖橢圓C的方程為，A是橢圓C的短軸左頂點，過A點作斜率為－1的直線交橢圓于B點，點P(1，0)，且BP∥y軸，△APB的面積為．

(1)求橢圓C的方程；

(2)在直線AB上求一點M，使得以橢圓C的焦點為焦點，且過M的雙曲線E的實軸最長，并求此雙曲線E的方程．

Answer 1

答案：
解析：

(1)又∠PAB＝45°，AP＝PB，故AP＝BP＝3． 　　∵P(1，0)，A(－2，0)，B(1，－3)分 　　∴b＝2，將B(1，－3)代入橢圓得：得， 　　所求橢圓方程為．; 　　(2)設橢圓C的焦點為F1，F2，則易知F1(0，－)F2(0，)， 　　直線的方程為：，因為M在雙曲線E上，要雙曲線E的實軸最大，只須||MF1|－|MF2||最大，設F1(0，－)關于直線的對稱點為 　　(－2，－2)，則直線與直線的交點為所求M， 　　因為的方程為：，聯立 　　得M()分 　　又＝||MF1|－|MF2||＝||M|－|MF2||| 　　＝＝2，故， 　　故所求雙曲線方程為：分