Question

（2013•肇慶二模）已知函數f(x)=a(x-

1

x

)-2lnx (a∈R)．
（1）若a=2，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）求函數f（x）的單調區間；
（3）設函數g(x)=-

a

x

．若至少存在一個x₀∈[1，e]，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當a=2時求出f（1），切線斜率k=f′（1），利用點斜式即可求得切線方程；
（2）求出函數定義域，分①當a≤0，②當a＞0兩種情況討論解不等式f'（x）＞0，f'（x）＜0即可；
（3）存在一個x₀∈[1，e]使得f（x₀）＞g（x₀），則ax₀＞2lnx₀，等價于a＞

2lnx0

x0

，令F(x)=

2lnx

x

，等價于“當x∈[1，e]時，a＞F（x）_min”．利用導數易求其最小值．

解答：解：函數的定義域為（0，+∞），f′(x)=a(1+

1

x2

)-

2

x

=

ax2-2x+a

x2

．   
（1）當a=2時，函數f(x)=2(x-

1

x

)-2lnx，f′（x）=

2x2-2x+2

x2

，
因為f（1）=0，f'（1）=2．
所以曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y-0=2（x-1），即2x-y-2=0．
（2）函數f（x）的定義域為（0，+∞）．
①當a≤0時，h（x）=ax²-2x+a＜0在（0，+∞）上恒成立，
則f'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，
此時f（x）在（0，+∞）上單調遞減． 
②當a＞0時，△=4-4a²，
（�。┤�0＜a＜1，
由f'（x）＞0，即h（x）＞0，得x＜

1- 1-a2

a

或x＞

1+ 1-a2

a

； 
由f'（x）＜0，即h（x）＜0，得

1- 1-a2

a

＜x＜

1+ 1-a2

a

．
所以函數f（x）的單調遞增區間為(0，

1- 1-a2

a

)和(

1+ 1-a2

a

，+∞)，
單調遞減區間為(

1- 1-a2

a

，

1+ 1-a2

a

)．  
（ⅱ）若a≥1，h（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，則f'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，此時f（x）在（0，+∞）上單調遞增． 
（3））因為存在一個x₀∈[1，e]使得f（x₀）＞g（x₀），
則ax₀＞2lnx₀，等價于a＞

2lnx0

x0

．
令F(x)=

2lnx

x

，等價于“當x∈[1，e]時，a＞F（x）_min”．
對F（x）求導，得F′(x)=

2(1-lnx)

x2

．
因為當x∈[1，e]時，F'（x）≥0，所以F（x）在[1，e]上單調遞增．
所以F（x）_min=F（1）=0，因此a＞0．

點評：本題考查導數的幾何意義、導數研究函數單調性及求函數的最值問題，考查學生分析問題解決問題的能力，對于“能成立”問題及“恒成立”問題往往轉化為函數最值解決．