Question

已知數列{a_n}滿足：a₁=-，a_n²+（a_n+1+2）a_n+2a_n+1+1=0．
求證：（1）-1＜a_n＜0；
（2）a_2n＞a_2n-1對一切n∈N^*都成立；
（3）數列{a_2n-1}為遞增數列．

Answer 1

證明：已知條件可化為（a_n+1+a_n）（a_n+2）+1=0，
即a_n+1=-a_n-．
（1）①當n=1時已成立；
②假設當n=k時結論成立，即-1＜a_k＜0，
那么當n=k+1時，a_k+1=-（a_k+2）-+2．
∵1＜a_k+2＜2，又y=t+在t∈（1，2）內為增函數，
∴a_k+2+∈（2，），
∴a_k+1∈（-，0），則-1＜a_k+1＜0，
∴當n=k+1時結論成立．
由①②知，對一切n∈N^*均有-1＜a_n＜0．
（2）①當n=1時，a₂=-＞a₁=-成立；
②假設當n=k（k≥1且k∈N）時結論成立，即a_2k＞a_2k-1，
∴1＜a_2k-1+2＜a_2k+2＜2，
∴a_2k-1+2+＜a_2k+2+，
∴-a_2k-1-＞-a_2k-，即a_2k＞a_2k+1．
同上法可得a_2k+2＞a_2k+1，
∴當n=k+1時結論成立．
由①②知對一切n∈N^*均有a_2n＞a_2n-1成立．
（3）a_n+1+a_n=-，則a_n+2+a_n+1=-．
兩式相減得
a_n+2-a_n=-=．
若把上式中的n換成2n-1，
則a_2n+1-a_2n-1=＞0，
∴數列{a_2n-1}為遞增數列．
分析：（1）用數學歸納法，①由題設條件知a_n+1=-a_n-．當n=1時成立；②假設當n=k時結論成立，即-1＜a_k＜0，那么當n=k+1時，a_k+1=-（a_k+2）-+2．由此導出-1＜a_k+1＜0，當n=k+1時結論成立．由①②知，對一切n∈N^*均有-1＜a_n＜0．
（2）①當n=1時，a₂=-＞a₁=-成立；②假設當n=k（k≥1且k∈N）時結論成立，即a_2k＞a_2k-1，由此能推導出a_2k+2＞a_2k+1，當n=k+1時結論成立．由①②知對一切n∈N^*均有a_2n＞a_2n-1成立．
（3）由a_n+1+a_n=-，知a_n+2+a_n+1=-．由此能導出a_2n+1-a_2n-1=＞0，即數列{a_2n-1}為遞增數列．
點評：本題考查數列的綜合性質和應用，解題時要認真審題，注意數學歸綱法的合理運用．