Question

【題目】已知函數f（x）=x4lnx﹣a（x4﹣1），a∈R．
（1）求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）若當x≥1時，f（x）≥0恒成立，求實數a的取值范圍；
（3）f（x）的極小值為φ（a），當a＞0時，求證： ．（e=2.71828…為自然對數的底）

Answer 1

【答案】
（1）解：f'（x）=4x3lnx+x3﹣4ax3．

則f'（1）=1﹣4a．又f（1）=0，

所以，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=（1﹣4a）（x﹣1）．

（2）解：由（1）得f'（x）=x3（4lnx+1﹣4a）．

①當 時，因為y=4lnx+1﹣4a為增函數，所以當x≥1時，4lnx+1﹣4a≥4ln1+1﹣4a=1﹣4a＞0，

因此f'（x）≥0．

當且僅當 ，且x=1時等號成立，

所以f（x）在（1，+∞）上為增函數．

因此，當x≥1時，f（x）≥f（1）=0．

所以， 滿足題意．

②當 時，由f'（x）=x3（4lnx+1﹣4a）=0，得 ，

解得 ．

因為 ，所以 ，所以 ．

當 時，f'（x）＜0，因此f（x）在 上為減函數．

所以當 時，f（x）＜f（1）=0，不合題意．

綜上所述，實數a的取值范圍是 ．

（3）解：由f'（x）=x3（4lnx+1﹣4a）=0，得 ， ．

當 時，f'（x）＜0，f（x）為減函數；當 時，f'（x）＞0，f（x）為增函數．

所以f（x）的極小值 =

由φ'（a）=1﹣e4a﹣1=0，得 ．

當 時，φ'（a）＞0，φ（a）為增函數；當 時，φ'（a）＜0，φ（a）為減函數．

所以 ．

= = ．

下證：a＞0時， ．

，

∴ ，

∴ ，

∴ ．

令 ，則 ．

當 時，r'（a）＜0，r（a）為減函數；當 時，r'（a）＞0，r（a）為增函數．所以 ，即 ．

所以 ，即 ．所以 ．

綜上所述，要證的不等式成立．

【解析】（1）求出導函數，利用導函數的概念求切線的斜率，點斜式寫出方程即可；（2）f（x）≥0恒成立，只需求出f（x）的最小值大于等于零即可，求出導函數，對參數a分類討論，討論是否滿足題意；（3）根據導函數求出函數的極小值φ（a），對極小值進行求導，利用導函數得出極小值的最大值等于零，右右不等式得證，再利用構造函數的方法，通過導函數證明左式成立．