Question

某公司將進一批單價為7元的商品，若按每個10元銷售，每天可賣出100個；若每個商品的銷售價上漲1元，則每天的銷售量就減少10個．
（1）設每個商品的銷售價上漲x元（x≥0，x∈N），每天的利潤為y元，試寫出函數y=f（x）的表達式，并指明函數的定義域；
（2）當每個商品的銷售價定為多少時，每天的利潤最大？并求出此最大值．

Answer 1

分析：（1）設商品的銷售價每個上漲x（x∈N₊）元，則商品銷售單價為（x+10）元，單個利潤為（x+10-7），日銷售量應減少10x個，從而可得y關于x的函數關系式；
（2）根據（1）中函數的解析式，結合二次函數的圖象和性質，可得函數的最大值，即最大利潤．

解答：解：（1）每個商品的銷售價上漲x元時，每天的銷售量則為（100-10x）個，…（2分）
每天的利潤為y=（10+x-7）（100-10x），…（5分）
即：y=10（-x²+7x+30），
其定義域為{x|0≤x≤10，x∈N}…（7分）
（2）y=10(-x2+7x+30)=-10(x-

7

2

)2+

1690

4

，…（10分）
因為0≤x≤10，x∈N，所以當x=3或x=4時，
每天的利潤最大，y_max=420…（13分）
答：每個商品的銷售價定為13元時，每天的利潤達到最大，最大值為420元．…（14分）

點評：本題考查利潤、銷售量、單價間的關系，將實際問題轉化為二次函數的最值問題，應掌握數形結合法求二次函數的最值．