Question

設代數方程a-a₁x²+a₂x⁴-…+（-1）ⁿa_nx²ⁿ=0有2n個不同的根±x₁，±x₂，…，±x_n，則，比較兩邊x²的系數得a₁=    ；若已知展開式對x∈R，x≠0成立，則由于有無窮多個根：±π，±2π，…，+±nπ，…，于是，利用上述結論可得=    ．

Answer 1

【答案】分析：代數方程a-a₁x²+a₂x⁴-…+（-1）ⁿa_nx²ⁿ=0有2n個不同的根±x₁，±x₂，…，±x_n，∴a-a₁x²+a₂x⁴-…+（-1）ⁿa_nx²ⁿ=a，與條件比較兩邊x²的系數可以推得結論；由于有對x∈R且x≠0恒成立，方程 有無究多個根：±π，±2π，…±nπ，…，則比較兩邊x²的系數可以推得結論．
解答：解：∵代數方程a-a₁x²+a₂x⁴-…+（-1）ⁿa_nx²ⁿ=0有2n個不同的根±x₁，±x₂，…，±x_n，
∴a-a₁x²+a₂x⁴-…+（-1）ⁿa_nx²ⁿ=a
又
比較兩邊x²的系數可以推得：a₁=
由
比較兩邊x²的系數可以推得：1+
故答案為a₁=；1+
點評：本題考查的知識點是類比推理，其中由已知根據方程根的形式，將一個累加式變成一個累乘式，用到一次類比推理；現時觀察兩邊x2的系數得到結論，又用到一次類比，故難較大．