Question

【題目】已知定義域為的函數是奇函數.

（1）求的值；

（2）判斷函數的單調性，并用定義證明；

（3）當時，恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1） ，;（2）證明見解析；（3） ．

【解析】

試題分析：（1）尋找關于a,b的兩個方程如（2）根據的單調性定義證明.（3）由單調遞減則且滿足的定義域，將問題轉化為關于參數a的不等式.

試題解析：（1）∵在定義域為是奇函數.所以，即，∴.

又由，即，∴，檢驗知，當，時，原函數是奇函數.

（2）由（1）知，任取，設，則

，因為函數在上是增函數，且，所以，又，∴即，∴函數在上是減函數.

（3）因是奇函數，從而不等式等價于，因在上是減函數，由上式推得，即對一切有：恒成立，

設，令，則有，∴，∴，即的取值范圍為.