Question

下面給出四個命題：
①函數f(x)=

x

-(

1

4

)x的零點在區間(

1

4

，

1

3

)內；
②若函數f（x）滿足f（1）=1，f（x+1）=2f（x），則f（1）+f（2）+…+f（10）=1023；
③“若a，b都是奇數，則a+b是偶數”的逆否命題是“若a+b不是偶數，則a，b都不是奇數”；
④“若a=-1，則函數f（x）=ax²+2x-1只有一個零點”的逆命題為真命題．
其中所有正確的命題序號是

②

．

Answer 1

分析：根據零點存在定理，可判斷①；根據已知結合等比數列前n項和公式，可判斷②；根據逆否命題的定義，寫出原命題的逆否命題，可判斷③；根據四種命題的關系，判斷原命題的逆命題的真假，可判斷④．

解答：解：①函數f(x)=

x

-(

1

4

)x在定義域（0，+∞）為連續的增函數，
∵f(

1

4

)=

1

2

-(

1

4

)

1

4

=

1- 2

2

＜0，f(

1

3

)=

3

3

-(

1

4

)

1

3

＜0，
故函數f(x)=

x

-(

1

4

)x在區間(

1

4

，

1

3

)內不存在零點，故①錯誤；
②∵f（1）=1，f（x+1）=2f（x），
則f（1），f（2），…，f（10）構成一個以1為首項，以2為公比的等比數列，
則f（1）+f（2）+…+f（10）=2¹⁰-1=1023，故②正確；
③“若a，b都是奇數，則a+b是偶數”的逆否命題是：“若a+b不是偶數，則a，b不都是奇數”，故③錯誤．
④“若a=-1，則函數f（x）=ax²+2x-1只有一個零點”的逆命題為：“若函數f（x）=ax²+2x-1只有一個零點，則a=-1”，
顯然a=0時，f（x）=ax²+2x-1=2x-1也滿足只有一個零點，故④錯誤；
故答案為：②

點評：本題以命題的真假判斷為載體，考查了零點存在定理，四種命題，數列求和等知識點，是函數較為綜合的應用，難度中檔．