Question

(本小題滿分12分)如圖，中心在原點(diǎn)O的橢圓的右焦點(diǎn)為F（3，0），

右準(zhǔn)線l的方程為：x = 12。

（1）求橢圓的方程；

（2）在橢圓上任取三個(gè)不同點(diǎn)，使，

證明:  為定值，并求此定值。

 

Answer 1

解：（I）設(shè)橢圓方程為．

因焦點(diǎn)為，故半焦距．

又右準(zhǔn)線的方程為，從而由已知

，

因此，．

故所求橢圓方程為．

（II）記橢圓的右頂點(diǎn)為，并設(shè)（1，2，3），不失一般性，

假設(shè)，且，．

又設(shè)點(diǎn)在上的射影為，因橢圓的離心率，從而有

  ．

解得 ．

因此

，

而

，

故為定值．

解析:

解：（I）設(shè)橢圓方程為．

因焦點(diǎn)為，故半焦距．

又右準(zhǔn)線的方程為，從而由已知

，

因此，．

故所求橢圓方程為．

（II）記橢圓的右頂點(diǎn)為，并設(shè)（1，2，3），不失一般性，

假設(shè)，且，．

又設(shè)點(diǎn)在上的射影為，因橢圓的離心率，從而有

  ．

解得 ．

因此

，

而

，

故為定值．