Question

已知雙曲線S的兩個焦點F₁、F₂在x軸上，它的兩條漸近線分別為l₁、l₂，y=x是其中的一條漸近線的方程，兩條直線X=±是雙曲線S的準線．
（I）設A、B分別為l₁、l₂上的動點，且2||=5，求線段AB的中點M的軌跡方程：
（II）已知O是原點，經過點N（0，1）是否存在直線l，使l與雙曲線S交于P，E且△POE是以PE為斜邊的直角三角形？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：先利用已知條件求出雙曲線S的標準方程；
（I）設出M（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根據中點坐標公式得x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y；再根據已知得y=x是l₁，l₂的方程，A，B，分別為l₁，l₂上的點．以及弦長公式和2||=5，即得答案：
（II）先設出直線l的方程，把直線方程與雙曲線方程聯立，得到P，E坐標與直線斜率之間的等量關系；再結合△POE是以PE為斜邊的直角三角形對應的結論=0．即可求出最終結論．（注意對直線方程分斜率存在和不存在兩種情況來討論）
解答：解：根據題意設雙曲線S的方程為，
根據已知，得，解方程組，得，
∴雙曲線S的方程為．
（I）設M（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則，
即x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，
∵，
∴，
即=10．
由已知得y=x是l₁，l₂的方程，A，B，分別為l₁，l₂上的點．
所以（y₁+y₂）²=（x₁-x₂）²．即（x₂-x₁）²=3（y₂+y₁）²．
（y₂-y₁）²=．
∴==10．
∴3×（2y）²+（2x）²=100．即．
所以線段AB的中點M的軌跡方程為：．
（II）∵經過點N（0，1），斜率不存在的直線是x=0，它與曲線S不相交，
∴經過點N（0，1）斜率不存在的直線不符合要求．
當經過點N（0，1）的直線斜率存在時，設方程為y=kx+1．
假設它滿足要求，根據已知設P（x₃，kx₃+1），E（x₄，kx₄+1）
∵△POE是以PE為斜邊的指直角三角形
∴=0．即x₃x₄+（kx₃+1）（kx₄+1）=0．
∴（1+k²）x₃x₄+k（x₃+x₄）+1=0．
由得（1-3k²）x²-6kx-6=0．
∴x₃+x₄=，x₃•x₄=．
∴（1+k²）=1．化簡得：3k²+5=0，此方程無實數根．
所以經過點N（0，1）斜率存在的直線l也不滿足要求．
綜上可得：滿足要求的直線l不存在．
點評：本題是一道綜合性很強的好題．涉及到的知識點有：雙曲線標準方程的求法，軌跡方程的求法，兩點間的距離公式，以及韋達定理等，是對知識的綜合考查，要想在這種類型題目上得分，需要有比較扎實的基本功．