Question

 △ABC中, B是橢圓在x軸上方的頂點, 是雙曲線位于x軸下方的準線, 當AC在直線上運動時.

(1)求△ABC外接圓的圓心P的軌跡E的方程；

(2)過定點作互相垂直的直線, 分別交軌跡E于M、N和R、Q, 求四邊形MRNQ面積的最小值.

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（1）由橢圓方程及雙曲線方程可得點直線方程是

   且在直線上運動。

   可設

   則的垂直平分線方程為                            ①

   的垂直平分線方程為          ②

P是△ABC的外接圓圓心，點P的坐標滿足方程①和②

由①和②聯(lián)立消去得

故圓心P的軌跡E的方程為_{--------------------------------------------------------（6分）}

(2)由圖可知，直線和的斜率存在且不為零，設的方程為，

，的方程為

由         得 _{------------------------------（8分）}

  △=直線與軌跡E交于兩點。

設，則。

同理可得：四邊形MRNQ的面積

_{------------（12分）}

當且僅當，即時，等號成立。

故四邊形MNRQ的面積的最小值為72。----------------------------------------------------（13分）